quinta-feira, 4 de junho de 2009

Fractais na Natureza

No último post sugeri que as desordens encontradas nas interfaces entre sistemas biológicos poderiam ser entendidas utilizando o conceito de geometria fractal. Para que algo seja considerado fractal é necessário que se tenha uma propriedade fundamental denominada auto-similaridade. Apesar da idéia de fractal ser um conceito estritamente matemático, inúmeras outras formas encontradas na natureza satisfazem as condições necessárias para que sejam consideradas fractais. Um bom exemplo é a copa das árvores. Em uma árvore típica, a formação da copa começa a partir das ramificações iniciais do tronco. De forma similar às primeiras ramificações, cada ramo principal sofre novas ramificações que se repetem até as ramificações terminais onde surgem as folhas. Observe o exemplo abaixo. Nesta árvore, a auto-similaridade está esquematizada ao lado.

No esquema acima, utilizando o modelo encontrado no livro de Mendelbrot (1977) e modificado por Goldberger (1987), resolví comparar uma imagem verdadeira de uma árvore sem folhas.  Ali podemos perceber os ramos “infinitos” de uma árvore. Observe que a cada vez que um dos ramos é ampliado, revela a presença de novos ramos, e assim por diante, sugerindo que o galho se ramifica por inúmeras gerações em escalas cada vez menores tandendo ao infinito. Isto é auto-similaridade! Qualquer estrutura em menor escala é similar à forma em maior escala. É como se a árvore fosse formada por milhares de pequenas árvores progressivamente menores (Mandelbrot, 1977, West & Goldberger, 1987).

Mesmo ao nível de uma folha podemos perceber a auto-similaridade tal qual observamos nos galhos da árvore. Genericamente, as folhas são divididas nas seguintes partes: bainha, pecíolo e limbo. O pecíolo surge das ramificações menores das árvores. Conforme a figura mostra, o pecíolo gera vários ramos que se ramificam posteriormente. O limbo nada mais é do que a parte verde da folha formada por células fotossintetizantes. Assim, o pecíolo é a continuação de um sistema vascular que se origina na raiz da planta com o objetivo de transportar seiva bruta para as células da folha (o limbo). As ramificações desde o tronco até os ramos terminais dos pecíolos reproduzem um padrão também observado no sistema vascular dos mamíferos. Ou seja, as ramificações terminais dos pecíolos equivalem aos capilares sanguíneos que se originam das arteríolas do nosso corpo e nutrem as células na intimidade dos tecidos; ou às ramificações terminais da árvore brônquica (bronquíolos do pulmão) que que, ao nível dos sacos alveolares, realizam as troas gasosas. Tanto as ramificações dos pecíolos dos vegetais quanto os capilares sanguíneos e os bronquíolos são pequenos e finos o suficiente para interagirem diretamente com as células de cada tecido correspondente e todos eles reproduzem um padrão fractal.

Quando as folhas das árvores caem no solo de uma floresta úmida o limbo é a primeira estrutura a ser decomposta pelos microorganismos do solo. Como resultado, sobra apenas o esqueleto da folha formado pelas ramificações do pecíolo que pode ser encontrado no chão da floresta.

Assim, conforme demonstramos, o esqueleto da folha apresenta uma estrutura auto-similar que satisfaz todas as condições de uma estrutura fractal.

Então, como primeira conclusão, o estudo das formas fractais presentes na natureza corresponde a um tipo de geometria da natureza. Entretanto, é uma geometria que não tem nada a ver com as formas que estamos habitualmente acostumados tais como esferas, polígonos ou mesmo os sólidos platônicos (figura abaixo) que a partir dos quais Platão procurou explicar o universo.

Platão buscou nos sólidos regulares a explicação para a origem do universo. Da esquerda para a direita temos: octaedro, icosaedro, cubo (ou hexaedro), tetraedro e um dodecaedro.

Do ponto de vista do pensamento matemático antigo, alguns estudiosos importantes como Galileu e Descartes foram obcecados por encontrar nos resultados de suas pesquisas físico-matemáticas, figuras geométricas ditas perfeitas, como a parábola, a elipse e o círculo. Acreditavam que a natureza não tinha muita escolha na formalização dos seus fenômenos que não os traçados bem comportados descritos por Euclides (Revisado em Ricieri, A. P., 1990). Hoje se sabe que as formas da natureza não obedecem apenas à lógica da geometria clássica ou Euclidiana como vimos agora. Entretanto, o matemático Francês Benoit Mandelbrot, um dos pais da geometria fractal, havia percebido isto muito antes de 1983 quando declarou o seguinte no seu livro A Geometria Fractal da Natureza: “nuvens não são esferas, montanhas não são cones, linhas costeiras não são círculos, cascas de árvores não são suaves e nem o raio se propaga em linha reta”.


"Formas da natureza que não obedecem as leis matemáticas da geometria clássica ou Euclidiana"

Essas afirmações deixam claro que as formas ou a geometria da natureza respeitam outras leis geométricas. Estas não são definidas apenas pelas dimensões tradicionais, ou seja, a primeira (a reta), segunda (o quadrado) e terceira dimensões (o cubo), mas também pela dimensão dos fractais no qual a auto-similaridade é a principal propriedade (mas não a única).

Qual é a importância dos fractais em biologia?Segundo um cientista chamado Cross (1994), a dimensão fractal pode ser entendida como uma medida de complexidade. De fato, a função de vários órgãos do corpo dos mamíferos bem como a atividade das plantas está relacionada diretamente com a forma adquirida por eles ao longo da evolução. Nós aprendemos nos primeiro e segundo graus que as células do intestino possuem vilosidades e que estas por sua vez possuem microvilosidades. A análise dessas vilosidades mostrou que elas também possuem um padrão fractal (microvilosidades que surgem de vilosidades, que surgem de dobras intestinais e que por sua vez surgem das alças curvas intestinas, e assim por diante). A disposição das microvilosidades intestinais potencializa o nível de absorção de nutrientes para o interior da célula devido ao aumento da “área” ou superfície de contato com os alimentos. Isto só ocorre porque a estrutura é fractal.

O mesmo acontece com as árvores. A disposição fractal da copa das árvores potencializa e maximiza a exposição de uma quantidade enorme de folhas ao sol, permitindo maior eficiência na captação de luz. A disposição fractal das árvores adultas também permite que elas lancem novos ramos durante todo o ano sem que o aumento do perímetro da copa seja perceptível. Então, uma estrutura fractal fornece o máximo de eficiência com o mínimo de ocupação de espaço. Veja o caso dos vasos sanguíneos dos animais.

No caso dos vasos sanguíneos, a natureza de suas ramificações é fractal e como tal tende a um crescimento infinito. Assim, apesar do sangue ocupar pouco espaço, não mais do que 5% do corpo, na maioria dos tecidos nenhuma célula está a uma distância de mais de três ou quatro células de um vaso sanguíneo (Gleick, 1989).

Para concluir, a propriedade fractal da uma determinada vegetação é determinante para o tipo de fauna existente ali. Quanto mais complexa a trama verde de uma floresta, mais favorável será para a presença de pequenos artrópodes e assim por diante. Se você quiser saber mais sobre fractais veja o seguinte site: http://math.rice.edu/~lanius/frac/ ou baixe o programa WINFRACT para windows e divirta-se.

Grande abraço e até a próxima.

13 comentários:

  1. Lembrei a rede neural...o cerebro...sede da mente, orgao invisivel, porem que contem a inteligencia e gera os pensamentos que impulsionam as açoes do corpo. Como estariam as redes neurais do cerebro relacionadas com o funcionamento da mente, este orgao indiscutivelmente metafisico? Com a formaçao dos pensamentos? Poderiamos utilizar este padrao para expressar a forma como a mente constroi os pensamentos e a sensibilidade constroi os sentimentos? A ciencia tem ainda muito a percorrer... Ha alguns seculos, a humanidade separou o conhecimento sobre a materia do conhecimento sobre a parte imaterial... quando foi impedida de pensar sobre determinados aspectos da parte invisivel da vida... desenvolvemos muito no sentido do conhecimento tecnologico, e muito pouco no sentido do conhecimento sobre a consciencia. Tanto e, que utilizamos a tecnolocia de forma inconsciente... as guerras! A ciencia agora tenta percorrer um outro caminho atraves da fisica quantica... e eis ai as fractais na natureza viva, revelando parte, uma infima parte do sistema nervoso, sede da mente. Temos ainda que aprender a caminhar neste sentido, muito... especialmente aprender a mergulhar nesta parde invisivel, a parte mental...na parte real do mundo invisivel.
    Jandyra Pires

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  2. Observe a disposição das sementes no girassol. Elas estão dispostas num padrão espiral formado pelo ângulo de ouro, de 137,5°. É o padrão ideal para que as sementes se posicionem, ficando compactas e dispostas uniformemente durante o crescimento da planta. Qualquer outro ângulo faria com que as sementes criassem espaços vazios entre as sementes. O números de espirais pra esquerda e pra direita seguem uma relação matemática que faz parte do padrão matemático conhecido como Sequência de Fibonacci. Como poderia ter surgido por acaso um planta com um padrão matemático tão complexo? Existe sim uma mente criativa e inteligente por trás a natureza.

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    1. isso mesmo, somente jeová deus poderia fazer isso, junto com seu filho jesus cristo!!

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    2. Crer na evoluçao e realmente um ato de fe ,pois nao ha evidencias que nos convençam de que nao existe um ser superior em poder, sabedoria e amor,na criaçao de Jeova porem quanto mais estudamos mais nos admiramos de suas criaçoes e realmente um privilegio poder conhecer esse Deus maravilhoso, tao diferente de um deus indiferente que alguns insistem em pintalo na menta das pessoas

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  3. Oi Jandira,
    Demorei mesmo para responder pois tem muitos aspectos no seu texto que requerem mais atenção. Gosto muito de física quântica e de fato ela tem explicado algumas coisas. Minha preocupação e ver algumas pessoas extrapolando e inferindo que o comportamento de partículas sub-atômicas simples podem ser aplicados ao comportamento de sistemas complexos como os biológicos. Se fosse assim não precisaríamos da biologia enquanto ciência. Os fenômenos biológicos ocorrem em uma dimensão na qual a física quântica não pode explicar pois não é do seu domínio. Bom, é mais ou menos isso.
    Abraços.

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  4. Prezado amigo anônimo,
    Adoro a sequência de Fibonacci. Por isso mesmo seu comentário ficaria melhor no post "o problema da forma" quando discutí parcialmente isto. Mas acredito que qualquer exemplo baseado no comportamento da natureza seja ele euclidiano, fractal, contínuo, descontínuo, linear ou não serviriam para a sua argumentação sobre deus. Certamente a matemática de deus não se limitaria a apenas uma lógica ou a um padrão que foi descoberto ainda na idade média. Outro exemplo bom é a maneira como as vespas se utilizam do corpo vivo de outros insetos para que suas larvas biontófagas se alimentem de tecido vivo. Não gostamos de pensar nesse lado mais perverso de deus não é mesmo? E aquele besouro, o rola bosta, não foi deus quem criou? Para quem tem fé a biologia é um prato cheio. O problema é quando a fé é cega e não te permite ver mais além. Grande abraço.

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  5. Um dia, mesmo num futuro distante, toda criação se dobrará diante da existencia soberana do Criador do Universo, do Arquiteto Universal, do projetista Maior, do Engenheiro Todo Poderoso, Jeová Deus. O ser humano na sua pequenês e insignificância lutando e relutando para admitir sua soberania. Bem! Ao admitir teriam que fazer a Sua vontade. E isso bem poucos querem. Mas que fale mais alto seus projetos magníficos.

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  6. Adoro fractais. Tenho também algumas postagens em meu blog sobre o assunto. Espero vc lá.
    Parabéns pelo blog

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  7. MEu caro curtir teu blog, sobre esse tema existe um pensamento que acho válido vc da uma procurada. A teoria do yin e yang sintetiza todo o processo de fractais e ainda explica que existe diferenciação entre elas porém são interdependentes.

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  8. Obrigado companheiro(a) anônimo (a). Certamente vou investigar sua sugestão. Mas pensando um pouco sobre o yin e yang sinto falta da dimensão de cobertura fracionária e da auto-similaridade em diferentes escalas no seu símbolo. Grande abraço.

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  9. ctaisda temática...... fractais, física quântica, religião/Ciência, teoria multiverso, ................ O querer compreender, será esse conhecimento tão vasto e complexo, k o seu alcance por nós desejado, se poderá equiparar ao mesmo poder k uma pequena formiga tem por exemplo de nos compreender a nós humanos, ou nem mesmo a tomada de consciência da nossa existência? Tal como a formiga, estamos presos ao nosso corpo material e limitados pelos nossos sentidos, só estamos aptos a captar a realidade parcialmente e não no seu todo. A realidade é sempre mais vasta. Não é por não se percepcionar que deixa de existir o k quer k seja. Nós somos partes de um todo, acredito que tudo se encontre relacionado e k tal como Lavoisier, nada se perde, nada se cria, tudo se transforma. è interessante pensar no sentido cíclico de muitas coisas como por exemplo corrente sanguínea, correntes marítimas do globo, e expandir no sentido de aplicar, essa ciclicidade a outros fenómenos.... Será que nós, (parece absurdo, sei)não somos o próprio Deus? Que se cria e destrói ciclicamente, afinal o k é constante?, parece um paradoxo, mas é a própria inconstância... a teoria em que o universo se expande para depois se dar o inverso....não será aplicável, aquilo k designamos Deus?.... Só sei k nada sei, tipo socrates,...... mas gosto de ler, e ouvir opiniões...... penso k chamam de panspermia ..... a teoria k põe no ar (literalmente ) a possibilidade da nossa origem poder vir de longe,.... ou melhor nós próprios podermos não ser propriamente terráqueos. Outro aspecto k acho interessante é o facto de nos seres vivos, parecermos quase como programados a deixar descendência..... a sua biologia evolui de forma a essa ser a prioridade, animais k evoluem sempre no sentido de cativar macho femea e a proteção das crias....não há uma aprendizagem, é como se estivesse de antemão programado..... curioso........ pode se questionar: essa programação prossupõe inteligência? Se sim.....por que entidade? .... mera evolução, Darwin...... Depois o outro grande mistério o nosso cérebro, suas capacidades, mediunidade, percepçoes extra sensoriais..... evoluir por aí, como evoluiu a nossa tecnologia.....é sempre interessante....

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  10. A Kapacidade de sustenção dos sistemas é instável e nos coloca em equilíbrio um tanto quanto frágil a depender da escala de observação. O seu comentário me lembrou das estruturas dissipativas de Prigogine. Abraço.

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